我们先来看看“将军饮马”这个故事。
古希腊亚历山大有个着名的学者叫海伦。
有一天，一位将军特意来千里告诉海伦一个令人费解的问题。 如图所示，将军a从出发起在河边饮马，视察了b地的兵营，显然有很多方法。 我问了路线是怎么最短的。 精通数理的海伦想了一下，给出了完美的答案。 这个问题后来被称为“将军吃马”
让我们看看数学家是怎么解决的。 海伦发现这是一道折线和最短的数学题
根据公理，连接两点的所有线段中，线段最短
a、b在河的另一侧直接连接AB的话，就可以求出AB和l的交点
很明显，如果a、b是河的同一侧，两点间的线段最短的话，将折线变成直线进行分解
中学数学“将军饮马”的七种模式
将军喝海伦解决本问题时，把折线问题作为对称点变成直线
目前人们把利用对称点解决问题的思想方法称为对称原理，即轴对称思想
轴对称的两个图形具有以下性质:
①关于某条直线对称的两个图形是全等形的
②对称轴是任意一对对应点连接的垂直平分线
两个图形关于某条直线对称，当它们对应线段或延长线相交时，交点位于对称轴上.
将军饮马的数学问题，考察的知识点是“两点之间的线段最短”、“垂线的线段最短”、“点是线对称”、“线段的平移”。
解题总构想:寻找线的对称点，从“折”转变为“直”，最近2年从“三折”转变为“直”等变式问题。 有七种模式
中学数学“将军饮马”的七种模式
型号1，PA+PB最小
中学数学“将军饮马”的七种模式
型号2，PA-PB最小
中学数学“将军饮马”的七种模式
型号3，PA-PB最大
中学数学“将军饮马”的七种模式
【变形】在不同侧的情况下，也可以询问在直线l上是否存在将直线l作为APB的二等分线的点p
中学数学“将军饮马”的七种模式
模型4，周长最短
中学数学“将军饮马”的七种模式
模型5“过河”最短距离
中学数学“将军饮马”的七种模式
型号6，线段，最小
中学数学“将军饮马”的七种模式
中学数学“将军饮马”的七种模式
型号7，正交坐标系下的运用
中学数学“将军饮马”的七种模式
主题很紧张
1 .如图所示，直线l和l的相反侧的2点a、b在直线l上求出1点p，以使PA+PB最小。
中学数学“将军饮马”的七种模式
2 .如图所示，直线l和l的同一侧的2点a、b求出在直线l上PA+PB最小的点p。
中学数学“将军饮马”的七种模式
3 .如图所示，点p为mON内的点，分别为OM，on为点a、b。 △使PAB的周长最小
中学数学“将军饮马”的七种模式
4 .如图所示，点p、q是mON内的2点，分别设OM、on为点a、b。 使四边形PAQB的周长最小化。
中学数学“将军饮马”的七种模式
5 .如图所示，点a是mON以外的点，在线on上形成点p，使PA和点p到线OM的距离之和最小化
中学数学“将军饮马”的七种模式
6 .如图所示，点a是mON内的点，在线on上形成点p，使PA和点p到线OM的距离之和最小化
中学数学“将军饮马”的七种模式
当已知条件出现求等腰三角形、等腰线、高度或某些折线段的最小值等情况时，通常考虑轴对称变换，对图案进行“补充”并集中条件。
所有轴对称图形(角、线、等腰三角形、等边三角形、菱形、长方形、正方形、等边梯形、圆、坐标轴)都可以考察“将军吃马”的问题。
编辑者：长沙家教网（cs.msgtjj.com)
