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辅导教案 |
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课时： 课时 |
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教学课题 |
平均变化率的概念及几何意义； |
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教学目标 |
1．了解平均变化率的几何意义； 2．会求函数在某点处附近的平均变化率
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教学重点与难点 |
平均变化率的概念，导数的几何意义 |
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教学过程 教学过程 一、复习预习 问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 问题2 高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?
二、知识讲解 本节课主要知识点解析，中高考考点、易错点分析 考点1：平均变化率概念 1．上述问题中的变化率可用式子 表示, 称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率 2．若设, (这里看作是对于x1的一个“增量”可用x1+代替x2,同样) 3． 则平均变化率为
考点2导数的概念 从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:
我们称它为函数在出的导数，记作或，即
说明：（1）导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率 （2），当时，，所以 考点/3导数的几何意义 函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点处的切线的斜率， 即 说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出P点的坐标; ②求出函数在点处的变化率 ，得到曲线在点的切线的斜率； ③利用点斜式求切线方程.
三、例题精析 【例题1】已知函数f(x)=的图象上的一点及临近一点,则 ． 【答案】 【解析】解：， ∴ 【例题2】求在附近的平均变化率 【答案】 【解析】解：，所以
所以在附近的平均变化率为 【例题3】求函数y=3x2在x=1处的导数. 【答案】6 【解析】：先求Δf=Δy=f(１＋Δx)-f(１)=6Δx+(Δx)2 再求再求 【例题4】:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程. 【答案】 【解析】, 所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为即
四、课堂运用 【基础】 1. 求在到之间的平均变化率，并求，时平均变化率的值. 【解析】当变量从变到时，函数的平均变化率为
当，时，平均变化率的值为：.
2. 求函数y=5x2+6在区间[2，2+]内的平均变化率 【解析】 ， 所以平均变化率为 【巩固】 1. 自由落体运动的运动方程为，计算t从3s到3.1s，3.01s，3.001s各段内的平均速度（位移s的单位为m）。 【解析】要求平均速度，就是求的值，为此需求出、。 设在[3，3.1]内的平均速度为v1，则 ， 。 所以。 同理。 。
2. 过曲线上两点和作曲线的割线，求出当时割线的斜率.
【解析】当时
…… 【拔高】 1. 用导数的定义，求函数在x=1处的导数 ∵
∴ ∴。
2. 已知函数可导，若，，求 【解析】 （）
（令t=x2，x→1，t→1）
课程小结 1．函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率 函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为x2－x1(x1). 若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为Δx(Δy). 2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 (1)定义 称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率li Δx(Δy)＝ li Δx(x0)为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝li Δx(Δy). (2)几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
课后作业 【基础】 1. 利用导数的定义求下列函数的导数： （1）； （2）； （3）； （4）。 【解析】（1）， ∴， ∴。 （2）， ∴， ∴。 （3）， ∴， ∴。 （4）， ∴， ∴。
【巩固】 1.求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程. 【解析】, 所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为即
2.求函数y=3x2在点处的导数. 【解析】因为 所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为即
【拔高】 1.已知函数可导，若，，求 【解析】
2.在曲线y=x2上过哪一点的切线： （1）平行于直线y=4x―5； （2）垂直于直线2x―6y+5=0； （3）与x轴成135°的倾斜角。 【解析】， 设所求切点坐标为P（x0，y0），则切线斜率为k=2x0 （1）因为切线与直线y=4x―5平行，所以2x0=4，x0=2，y0=4， 即P（2，4）。 （2）因为切线与直线2x―6y+5=0垂直，所以，得，， 即。 （3）因为切线与x轴成135°的倾斜角，所以其斜率为―1。即2x0=―1，得，， 即。
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课后作业 【基础】 函数在某一点的导数是( ) A．在该点的函数的增量与自变量的增量的比 B．一个函数 C．一个常数，不是变数 D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率 【答案】 C 【解析】由导数定义可知，函数在某一点的导数，就是平均变化率的极限值．
【巩固】 质点M的运动规律为s＝4t＋4t2，则质点M在t＝t0时的速度为( ) A．4＋4t0 B．0 C．8t0＋4 D．4t0＋4t0(2) 【答案】 C 【解析】Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝4Δt2＋4Δt＋8t0Δt， Δt(Δs)＝4Δt＋4＋8t0， limΔt→0 Δt(Δs)＝limΔt→0 (4Δt＋4＋8t0)＝4＋8t0.
【拔高】 1.函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，Δy＝( ) A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋Δx C．f(x0)·Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0) 【答案】 D 【解析】Δy看作相对于f(x0)的“增量”，可用f(x0＋Δx)－f(x0)代替．
2. f(x)在x＝x0处可导，则limΔx→0 Δx(x0)( ) A．与x0，Δx有关 B．仅与x0有关，而与Δx无关 C．仅与Δx有关，而与x0无关 D．与x0，Δx均无关 【答案】 B 【解析】式子limΔx→0 Δx(x0)表示的意义是求f′(x0)，即求f(x)在x0处的导数，它仅与x0有关，与Δx无关． |
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编辑者：长沙家教网（cs.msgtjj.com)