不等式选讲
1、不等式的基本性质
①（对称性）
a b b a ? ? ?
②（传递性）
a b b c a c ? ? ? ? ,
③（可加性）
a b a c b c ? ? ? ? ?
（同向可加性）
a ? b,c ? d ? a ? c ? b ? d
（异向可减性）
a ? b,c ? d ? a ? c ? b ? d
④（可积性）
a ? b,c ? 0 ? ac ? bc
a ? b,c ? 0 ? ac ? bc
⑤（同向正数可乘性）
a b c d ac bd ? ? ? ? ? ? 0, 0
（异向正数可除性）
0,0 a b a b c d
c d
? ? ? ? ? ?
⑥（平方法则）
0 ( , 1) n n a b a b n N n ? ? ? ? ? ? 且
⑦（开方法则）
0 ( , 1) n n a b a b n N n ? ? ? ? ? ? 且
⑧（倒数法则）
a b
a b
a b
a b
1 1
; 0
1 1
? ? 0 ? ? ? ? ? ?
2、几个重要不等式
①
? ?
2 2 a b ab a b R ? ? ? 2 ， ,（当且仅当
a b ?
时取
" "
?
号）. 变形公式：
2 2
.
2
a b ab ?
?
②（基本不等式） 2
a b ab ?
?
?a b R ?
?
， ?
,（当且仅当
a b ?
时取到等号）.
变形公式：
a b ab ? ? 2
2
.
2
a b ab ? ? ?
? ? ? ? ?
用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、
三相等”.
编辑者：长沙家教网（cs.msgtjj.com)